去年7月，北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院概率統(tǒng)計(jì)系教授丁劍和2020級(jí)博士生劉昱、夏傲騰合作的論文在國(guó)際數(shù)學(xué)頂尖期刊Inventiones mathematicae在線發(fā)表。
該研究綜合運(yùn)用了粗粒化（重整化）方法、隨機(jī)分割算法、Edwards-Sokal耦合、Peierls論證等技術(shù)，證明了帶隨機(jī)外場(chǎng)的三維伊辛模型的臨界溫度隨著外場(chǎng)強(qiáng)度趨于0收斂于經(jīng)典伊辛模型的臨界溫度。這一結(jié)果在數(shù)學(xué)上證實(shí)了物理學(xué)家Imry和馬上庚在上世紀(jì)七十年代提出的Imry-Ma猜想中相當(dāng)重要的一部分，為無(wú)序系統(tǒng)相變現(xiàn)象的研究提供了新的框架和視角。
今年7月，兩位同學(xué)即將從北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院畢業(yè)。他們這篇論文的發(fā)表，為在北大的數(shù)學(xué)博士生涯添上了濃墨重彩的一筆。在迎來(lái)這一高光時(shí)刻之前，他們都經(jīng)歷了怎樣的科研歷程？這一重要成果對(duì)他們的未來(lái)發(fā)展意味著什么？讓我們來(lái)聽(tīng)聽(tīng)劉昱和夏傲騰同學(xué)的分享。
劉昱
劉昱，2020年本科畢業(yè)于山東大學(xué)泰山學(xué)堂數(shù)學(xué)方向，同年在北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院開(kāi)始攻讀博士學(xué)位，導(dǎo)師為李欣意。主要研究方向?yàn)闈B流模型的相變現(xiàn)象。
夏傲騰
夏傲騰，2020年本科畢業(yè)于北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，同年在北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院開(kāi)始攻讀博士學(xué)位，導(dǎo)師為田剛、李欣意。主要研究興趣為晶格上的隨機(jī)模型的相變現(xiàn)象與近臨界行為。
問(wèn)：能否用通俗簡(jiǎn)約的語(yǔ)言描述一下你們與丁劍老師合作發(fā)表在Inventiones mathematicae上的工作？
伊辛模型是研究鐵磁體磁性隨溫度發(fā)生相變現(xiàn)象的簡(jiǎn)化模型。具體來(lái)說(shuō)，假設(shè)鐵磁體由多個(gè)微小磁性單元組成，每個(gè)單元可被想象成可以取兩個(gè)狀態(tài)：+1（向上）或-1（向下）的自旋粒子。而系統(tǒng)總能量與這些自旋粒子及他們鄰接粒子的狀態(tài)緊密相關(guān)，在不受外界干擾時(shí)，系統(tǒng)會(huì)趨向于呈現(xiàn)微小粒子具有相同自旋的情形。當(dāng)然，溫度、外部條件（外場(chǎng)）也會(huì)影響整個(gè)系統(tǒng)的排布。無(wú)外場(chǎng)的二維以上的經(jīng)典伊辛模型關(guān)于溫度的變化存在一個(gè)非平凡的相變現(xiàn)象：我們能夠找到一個(gè)臨界溫度，若低于這個(gè)溫度，自旋趨向有序排列，導(dǎo)致整體系統(tǒng)呈現(xiàn)有序磁性（簡(jiǎn)稱磁序）；而一旦高于這個(gè)溫度，則自旋無(wú)序排列，無(wú)法產(chǎn)生統(tǒng)一的磁場(chǎng)。
數(shù)學(xué)上已有研究證明了極低溫度下磁序的存在性。我們的文章綜合運(yùn)用了離散概率論中研究隨機(jī)格點(diǎn)模型的滲流性質(zhì)的多種工具，尤其是受統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中重整化群思想啟發(fā)的粗粒化技術(shù)，證明了帶隨機(jī)外場(chǎng)的伊辛模型的臨界溫度隨著外場(chǎng)強(qiáng)度趨于0收斂于經(jīng)典伊辛模型的臨界溫度；換言之，較小的外場(chǎng)只會(huì)對(duì)臨界溫度造成較小的擾動(dòng)。
問(wèn)：聽(tīng)起來(lái)，你們這個(gè)研究似乎更像是物理問(wèn)題？
我們的研究方向是概率論與統(tǒng)計(jì)物理的交叉，關(guān)注有統(tǒng)計(jì)物理背景的概率模型。統(tǒng)計(jì)物理學(xué)家認(rèn)為，微觀粒子的運(yùn)動(dòng)具有隨機(jī)性，這種微觀層面的隨機(jī)性產(chǎn)生的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，在大尺度上表現(xiàn)出確定性，造就了宏觀層面的物理現(xiàn)象。物理學(xué)家對(duì)微觀粒子的運(yùn)動(dòng)與相互作用提出了許多簡(jiǎn)化的模型，并依據(jù)這些模型做出物理層面的預(yù)測(cè)。盡管一些預(yù)測(cè)的正確性被普遍認(rèn)可，但從數(shù)學(xué)角度看，這些預(yù)測(cè)還沒(méi)有得到嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。因此，概率論與統(tǒng)計(jì)物理的交叉領(lǐng)域，面臨著數(shù)學(xué)證明與物理學(xué)預(yù)測(cè)之間的“追趕”問(wèn)題。李欣意老師在科普講座中提到過(guò)這樣的比喻：
“物理學(xué)家像老鷹，飛得高看得遠(yuǎn)；數(shù)學(xué)家像烏龜，在地上不慌不忙地爬行（有時(shí)候還會(huì)把腦袋縮回去），但每一步都很踏實(shí)，也能到達(dá)一些老鷹去不了的地方。”
這形象地表達(dá)了物理預(yù)測(cè)的前瞻性與數(shù)學(xué)嚴(yán)格化之間的平衡。預(yù)測(cè)是非常重要的，往往也能給數(shù)學(xué)家的研究引領(lǐng)方向，但問(wèn)題的嚴(yán)格化和數(shù)學(xué)證明卻往往非常困難，這也是我們方向的最大機(jī)遇和挑戰(zhàn)。
問(wèn)：論文寫作過(guò)程如何？有沒(méi)有什么難忘的經(jīng)歷？
2022年春季學(xué)期，丁劍老師開(kāi)設(shè)了《隨機(jī)過(guò)程2》專題課程，每節(jié)課都圍繞一個(gè)公開(kāi)問(wèn)題（open problem）展開(kāi)。同學(xué)們戲稱這門課為"丁老師不會(huì)的15個(gè)問(wèn)題"，而我們的研究正是源于其中一個(gè)課題——三維及以上隨機(jī)外場(chǎng)伊辛模型。在課堂上，丁老師通過(guò)示意圖與理論推導(dǎo)相結(jié)合的方式，詳細(xì)講解了無(wú)外場(chǎng)情形下的經(jīng)典Peierls論證方法，并將問(wèn)題拓展至存在高斯外場(chǎng)的復(fù)雜場(chǎng)景。他系統(tǒng)地梳理了該領(lǐng)域的重要里程碑成果，引導(dǎo)我們逐步深入，最終形成了這項(xiàng)研究。
從2022年3月開(kāi)始，我們與丁老師圍繞這個(gè)課題展開(kāi)了深入討論。有時(shí)在他的辦公室一待就是一整天，從早到晚持續(xù)探討。每當(dāng)遇到瓶頸時(shí)，丁老師就會(huì)拿出零食與我們分享，我們一邊吃著零食，一邊對(duì)著黑板冥思苦想。
?討論時(shí)的黑板
在10月投稿前，期間證明其實(shí)“掛”過(guò)兩次。5月份時(shí)，我們以為已經(jīng)完成了研究，但在撰寫五十多頁(yè)的論文時(shí)，發(fā)現(xiàn)一個(gè)重要引理無(wú)法證明。為了繞過(guò)這個(gè)難點(diǎn)，我們付出了大量努力。到了9月暑假結(jié)束后，又發(fā)現(xiàn)修改后的證明框架仍然存在根本性錯(cuò)誤——一個(gè)基本假設(shè)被反例推翻。然而，正是從這個(gè)反例出發(fā)，我們最終找到了正確的方向。
雖然整個(gè)前面的過(guò)程全部是錯(cuò)的，但是是一次錯(cuò)誤但成功的嘗試。
在博士二年級(jí)時(shí)，我們對(duì)科研還缺乏深入的認(rèn)識(shí)，難以準(zhǔn)確判斷問(wèn)題的難度級(jí)別。回想起來(lái)，如果丁劍老師一開(kāi)始就告訴我們這個(gè)課題是一個(gè)困擾學(xué)界幾十年的公開(kāi)難題，我們可能在中途就會(huì)因?yàn)槲冯y而放棄。但丁老師巧妙地將其設(shè)計(jì)成一份看似可以完成的課堂大作業(yè)，極大地降低了我們的心理壓力，讓我們能夠以更輕松的心態(tài)投入研究。
問(wèn)：在北大的博士學(xué)習(xí)生活中，學(xué)術(shù)氛圍怎么樣？朋輩關(guān)系如何？
在我們這一屆學(xué)生就讀期間，見(jiàn)證了概率系的“豹變”。李欣意老師回到北京國(guó)際數(shù)學(xué)研究中心任教后，不僅承擔(dān)了《高等概率論》的教學(xué)工作，還開(kāi)設(shè)了多門概率專題選修課程。同時(shí)，他定期組織研究方向的學(xué)術(shù)討論班，以及面向本科生的3+X討論班，大大增進(jìn)了本科生與博士生之間的學(xué)術(shù)交流。
隨著團(tuán)隊(duì)規(guī)模不斷擴(kuò)大，原本僅有四五人的小型討論班逐漸吸引了眾多本專業(yè)研究生和對(duì)概率論感興趣的本科生。通過(guò)這種互動(dòng)，我們既能夠接觸到許多優(yōu)秀的本科生，也能幫助他們更快掌握該領(lǐng)域的基礎(chǔ)知識(shí)。
特別值得一提的是，隨著許惟鈞、丁劍、孫鑫等杰出學(xué)者陸續(xù)加入學(xué)院和研究中心，選擇概率方向的本科生人數(shù)持續(xù)增加，整個(gè)學(xué)科呈現(xiàn)出蓬勃發(fā)展的態(tài)勢(shì)。
?討論班合影（左一：劉昱，左四：夏傲騰）
這形成了一個(gè)正向的循環(huán)。
在科研過(guò)程中，我們并沒(méi)有感受到過(guò)強(qiáng)的同輩競(jìng)爭(zhēng)壓力。實(shí)際上，這種壓力很大程度上取決于個(gè)人的心態(tài)。我們屬于比較“佛系”的，看到身邊同學(xué)都很優(yōu)秀時(shí)，反而會(huì)為能被他們帶動(dòng)而感到高興。但對(duì)于性格敏感、好勝心強(qiáng)的研究者來(lái)說(shuō)，長(zhǎng)期從事學(xué)術(shù)工作確實(shí)可能承受較大的心理壓力。
值得一提的是，導(dǎo)師們?cè)诎才叛芯糠较驎r(shí)非常用心，盡量避免無(wú)效“內(nèi)卷”。比如，通常會(huì)讓同年級(jí)的學(xué)生選擇不同領(lǐng)域，這樣就減少了直接比較的可能性。
我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)特別有意思的合作模式：當(dāng)老師與學(xué)生開(kāi)展研究時(shí)，最好能有兩名或以上的學(xué)生共同參與。這樣的好處顯而易見(jiàn)：首先，我們可以私下討論解決一些基礎(chǔ)問(wèn)題，避免因?yàn)閱?wèn)題太簡(jiǎn)單而不好意思請(qǐng)教老師；其次，遇到困難時(shí)互相鼓勵(lì)，心態(tài)會(huì)更輕松——畢竟當(dāng)研究遇到瓶頸時(shí)，知道不是自己一個(gè)人的問(wèn)題，壓力就會(huì)小很多（笑）！這種合作模式既提高了學(xué)習(xí)效率，也營(yíng)造了更輕松的科研氛圍。
問(wèn)：就讀期間，對(duì)導(dǎo)師感受如何？
在學(xué)術(shù)風(fēng)格和學(xué)術(shù)品味的培養(yǎng)方面，李欣意老師展現(xiàn)出了極大的耐心，通過(guò)潛移默化的方式影響著我們。他善于運(yùn)用生動(dòng)的比喻（常常與食物相關(guān)）來(lái)解釋模型的典型行為，并引導(dǎo)我們?cè)诼?tīng)完講座后提煉出“take-home message”——即抓住最直觀、最關(guān)鍵的部分。這種訓(xùn)練讓我們逐漸養(yǎng)成了從直覺(jué)和直觀角度理解問(wèn)題的思維方式。不同導(dǎo)師有著各自獨(dú)特的指導(dǎo)風(fēng)格。
丁劍老師對(duì)學(xué)生要求嚴(yán)格，若我們未能達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)，他會(huì)直率地指出問(wèn)題。公允地說(shuō)，他是“刀子嘴豆腐心”，對(duì)事不對(duì)人，嚴(yán)厲背后是殷切的期望。我們總結(jié)出的應(yīng)對(duì)之道就是：虛心接受批評(píng)，回去加倍努力。相比之下，李老師更能包容學(xué)生情緒和工作效率的波動(dòng)，交流時(shí)可以暢所欲言。因此我們常開(kāi)玩笑說(shuō)，對(duì)于剛接觸概率方向的“新鮮原材料”（學(xué)生），最好先經(jīng)過(guò)李老師的“焯水”處理，再跟隨丁老師進(jìn)行科研訓(xùn)練，以免直接被嚴(yán)苛的標(biāo)準(zhǔn)“嚇跑”。
夏傲騰補(bǔ)充道：“田剛老師即使行程再繁忙，出差返京后也總是第一時(shí)間組織討論班。每學(xué)期他都會(huì)定期與我見(jiàn)面，在大方向上給予指導(dǎo)，并為我的博士后選擇提供了寶貴建議。”可以說(shuō)，我們非常幸運(yùn)能遇到這些優(yōu)秀的導(dǎo)師，他們都愿意傾注大量時(shí)間悉心培養(yǎng)學(xué)生。
?師生出游（左一：劉昱，居中：李欣意，左五：夏傲騰）
問(wèn)：在數(shù)院讀博期間，最難忘的經(jīng)歷是什么？
劉：雖然有靈感迸發(fā)的瞬間，但是失敗過(guò)幾次后會(huì)趨向于普通，也是一個(gè)心理上不斷調(diào)試的過(guò)程。起初，你可能發(fā)現(xiàn)了什么都很驚喜，然而隨著時(shí)間推移，逐漸意識(shí)到（這可能意味著你已經(jīng)成長(zhǎng)）已經(jīng)不再將其當(dāng)作心理上的收獲。
夏：我印象非常深刻的是，有一個(gè)下午，我們的文章還差一個(gè)定理。我突然意識(shí)到遇到的問(wèn)題與以前閱讀過(guò)的一篇文章有些相似，于是我問(wèn)丁老師這個(gè)問(wèn)題能否也類似處理。我們?cè)嚵艘幌麓_實(shí)奏效。在具體的那一個(gè)下午的一個(gè)小時(shí)里，我想得比丁老師快了那么一點(diǎn)。我覺(jué)得，這還是挺不容易的。
自從我進(jìn)入學(xué)術(shù)研究那一刻起，我意識(shí)到并非所有人都是開(kāi)疆拓土的人，總要有人在后面修修補(bǔ)補(bǔ)。
問(wèn)：即將畢業(yè)，對(duì)學(xué)弟學(xué)妹們有什么建議？
劉：個(gè)人建議本科生在大一大二時(shí)多去嘗試。盡早確立自己感興趣的方向，可能是更好的。如果一開(kāi)始就決定去業(yè)界，可以去實(shí)習(xí)實(shí)踐；如果打算做學(xué)術(shù)研究的話，可以早點(diǎn)了解不同方向上的老師和研究細(xì)節(jié)，早點(diǎn)進(jìn)入的“容錯(cuò)率”會(huì)更高。
夏：我是從博二才開(kāi)始在科研上實(shí)質(zhì)性地起步。在（概率論）特定方向的門檻并不高，無(wú)需學(xué)習(xí)太多前置知識(shí)。開(kāi)始得早當(dāng)然好，如果開(kāi)始得晚，也不要坐在地上看著別人哭，那也沒(méi)用。什么時(shí)候開(kāi)始都可以，遇到好的老師、匹配的科研項(xiàng)目也很重要。
問(wèn)：為什么選擇在北大讀博士？
大家之前傾向于出國(guó)的最重要原因是，那時(shí)國(guó)外的學(xué)術(shù)氛圍相對(duì)較好。但是，如果學(xué)術(shù)環(huán)境不相上下，待在自己熟悉的環(huán)境里會(huì)舒服很多，在國(guó)外處理語(yǔ)言問(wèn)題和各種生活問(wèn)題會(huì)花費(fèi)大量精力。北大有世界top的生源，現(xiàn)在在很多方向上也具備國(guó)際頂尖的師資隊(duì)伍和空前活躍的學(xué)術(shù)氛圍。
現(xiàn)在國(guó)內(nèi)的學(xué)術(shù)環(huán)境很好，留在國(guó)內(nèi)讀博也是很好的選擇。
研究生教育是北大數(shù)學(xué)學(xué)科人才培養(yǎng)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，肩負(fù)著為國(guó)家自主培育頂尖數(shù)學(xué)人才的重任。在長(zhǎng)期實(shí)踐探索中，北大數(shù)學(xué)以雄厚的師資、多元的培養(yǎng)體系，及鼓勵(lì)自由探索的學(xué)術(shù)氛圍，致力于為學(xué)子們創(chuàng)造條件，助力他們挖掘自身潛能，勇攀學(xué)科高峰。我們關(guān)注每一位研究生的成長(zhǎng)軌跡，更想擷取其中的靈感時(shí)刻、成長(zhǎng)感悟，照亮未來(lái)看似平淡的日常。無(wú)論前路高光或平淡，平坦或曲折，在燕園這片沃土上，北大數(shù)學(xué)人的精彩故事仍在不斷續(xù)寫。
